MATERIAL DE MATEMATICA DE 4to AÑO PRIMER LAPSO.
CONTENIDO: ECUACIONES.
Objetivo 1: Ecuaciones
En lo cotidiano se usa de manera frecuente la palabra igual para indicar que, lo que estamos comparando tiene las mismas características, como por ejemplo: “luisa y Antonia usan blusas idénticas” debemos reconocer que su uso en matemática es importante. Esta relación se expresa con el símbolo “=”.
DEFINICIONES PRELIMINARES.
Igualda: Es una relación donde dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor.
Ecuación: Es una Igualda entre dos expresiones algebraicas que es verificable solamente para valores particulares de la variable contenidas en ellas.
Una de las grandes diferencias entre las dos definiciones, es que las identidades se demuestran, mientras que las ecuaciones se resuelven. Ambas son operaciones muy importantes en matemáticas.
Incógnitas: son variables que aparecen en una ecuación algebraica, cuyo valor desconocemos y generalmente se denota por las ultimas letras del alfabeto x,y,w,z, etc.
Miembros de una ecuación: son las dos expresiones algebraicas que forman la ecuación. El primer miembro está al lado izquierdo de la igualdad y el segundo miembro se encuentra al lado derecho.
CLASES DE ECUACIONES.
Ecuaciones Numéricas. Es una ecuación donde las únicas letras son variables o incógnitas.
Ecuaciones Lineales. Es una ecuación que además de las incógnitas tiene otras letras, llamadas parámetros, que representan cantidades conocidas.
SOLUCION O RAIZ DE UNA ECUACION.
Son los valores que atribuidos o sustituidos en la variable o incógnitas, producen una igualdad entre los dos miembros de la ecuación.
RESOLUCION DE UNA ECUACION.
Es hallar la o las soluciones o raíces que satisfacen la ecuación.
Regla 1: Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad (positiva o negativa), la igualdad no se altera.
Regla 2: Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o se divide por una misma cantidad diferente de cero (positiva o negativa), la igualdad no se altera.
Regla 3: Si los dos miembros de una ecuación se elevan una raíz, la igualdad no se altera.
Regla 4: Si los dos miembros de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro, cambiándole el signo. Esta regla se llama transposición de término y funciones como sigue:
· Si tiene un término realizando dos de las operaciones fundamentales, suma o resta, en uno de los miembros de la igualdad se pasa al otro lado, efectuando la operación contraria (recuerda que la suma y la resta son operaciones contrarias).
· Si tiene un factor diferente de cero realizando las operaciones fundamentales, multiplicación y división, en uno de los miembros de la ecuación, se pasa al otra lado efectuamos la operación contraria (recuerda que la multiplicación y la división son operaciones contrarias).
CAMBIO DE SIGNO EN UNA ECUACION.
Los signos de todos los términos de una ecuación se puede cambiar sin que la ecuación varie, pues equivale a multiplicar los dos lados o miembros de la ecuación por (-1).
TIPOS DE ECUACIONES.
Los tipos de ecuación de uso más frecuentes son:
· Polinomiales: las cuales pueden ser una o varias variables, el grado del polinomio de la ecuación es el mayor exponente que tiene la incógnita.
· Racionales: son aquellas que contiene expresiones algebraicas racionales.
· Radicales: son aquellas ecuaciones que tienen la variable o incógnita dentro de una o más expresiones radicales, también son llamadas ecuaciones radicales.
· Ecuaciones con valor absoluto: son aquellas ecuaciones donde las variables o incógnitas están dentro de un valor absoluto.
· Ecuación de primer grado con una incógnita: una ecuación de primer grado es una expresión de la forma (ax-b=0), donde a y b son números reales llamados coeficientes de la ecuación, con a diferente de cero.
ECUACION DE SEGUNDO GRADO.
Una ecuación es de segundo grado con una incógnita, si después de haber simplificado el mayor exponente es 2.
ax2 + bx + c = 0.
Para facilitar la resolución de las ecuaciones cuadráticas, daré unas formulas, para hacerlo, se toma la forma canónica de la ecuación cuadrática, con coeficientes lineales. Resolviendo esta ecuación se obtendrá la fórmula que buscamos.
| Forma canónica de la ecuación. | ax2 + bx + c = 0. |
| Multiplicamos esta ecuación por 4a para obtener: | 4a2 x2 + 4abx + 4ac = 0 es decir, 4a2 x2 + 4abx = -4ac. |
| Esta expresión la podemos escribir así. | (2ax)2 -2 (2ax)b = -4ac |
| Aquí tenemos los dos primeros términos del desarrollo del producto notable: | ( 2ax + b)2 |
| Para que este completo agregamos al cuadrado del segundo término (b2) a ambos miembros: | (2ax)2 – 2(2ax)b + b2 = b2 - 4ac |
| El miembro de la izquierda puede factorizar así: | (2ax + b)2 = b2 - 4ac |
| Se extrae la raíz cuadrada a ambos miembros | 2ax + |
| Pasamos b al segundo miembro | 2ax + |
| Despejamos x | |
Observación: a es el coeficiente principal de la ecuación y c su término independiente.
Es esencial que a≠ 0, ya que si no la ecuación no sería de segundo grado.
El signo ± delante de la raíz advierte que hay dos soluciones:
X1 y x2
PROPIEDADES DE LAS RAICES DE UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO.
La naturaleza de las soluciones de estas ecuaciones viene determinadas por el radicado de la raíz, o sea por b2 -4ac, que suele simbolizarse por la letra griega delta mayúscula (∆) y llamarse discriminante de la ecuación, así:
| Cuadro Resumen | |
| ∆ = b2 – 4ac | Soluciones |
| ∆ > 0 | Dos soluciones |
| ∆ < 0 | Una solución |
| ∆ = 0 | No tiene solución |
Ejercicios propuestos:
Resolver las siguientes ecuaciones:
| 1.- (x - 1) – (x - 3) = ( x + 3) + | 6.- + = 0 |
| 2.- 2x - | 7.- = |
| 3.- x- (5x – 1) - = 1 | 8.- + = |
| 4.- – 5 = 0 | 9.- – 1 = 0 |
| 5.- 2x + + + | 10.- 5x -1 = 7 - |
Resolver las siguientes ecuaciones:
1.- |7x – 2 |= x + 4 2.- |7x + 3|= 17
3.- |x - 10 |= 6 4.- |3x + 5 |= 8
5.- |3x + 2 |= x + 4 6.- |6x - 2 |= 4x + 7
7.- |8x - 1 |= 3x + 2 8.- |7x - 12 |= 4x + 3
Resolver las siguientes ecuaciones:
1.- = 2x + 3 2.- = 3x - 4
3.- – 1 = 4.- + =
5.- + = 5 6.- + - = 0
7.- + 10 = 0 8.- = 1 -
Encuentra las soluciones de cada ecuación planteada:
1. x2 -3x -10 = 0 2.- 2x2 + 3x -2 = 0
3.- -x2 +6x – 14 = 0 4.- 2 – 4x – x2 = 0
5.- 9y2 -6y +1 = 0 6.- 4m2 + 4m + 1 = 0
7.- x4 – 5x2 – 14 = 0 8.- y4 + 12 = 7y2
9.- t2 = t - 10.- m + 1 = m2
11.- x2 + x = 12.- x2 + x =
Encuentra los valores reales de “k” para que la ecuación tenga solo una solución.
1.- 2x2 + kx – 1 = 0 2.- x2 - kx – 7 = -11
3.- 2x2 + kx + k = 0 4.- x2 + ( k-3 )x + k2 = 0
5.- kx2 + 2kx + k = 0
Determina las soluciones de las siguientes ecuaciones.
1.- = 2.- =
OBSERVACION: En la siguiente guía de ejercicios están solo ejercicios propuestos los cuales se desarrollaran en el aula con la asesoría del Prof. Leonardo Bolívar.
Correo: leo_bolivar13@hotmail.com
Blogs: lucianabolivarlugo.blogspot.com
(Biruaca2011).
